GEOMETRIA PLANA

CONCEPTO

Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparentes

LAS UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, elsextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. y el lápiz.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manijas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, unángulo agudo.

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0º.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. Es decir, mayor de 0º y menor de 90º (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ rad Es equivalente a 90º sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ rad Mayor a 90º y menor a 180º sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^gcentesimales).
Ángulo llano o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180º sexagesimales (o 200^g centesimales). También es conocido como ángulo extendido.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalente a 360º sexagesimales (o 400^g centesimales).

ÁNGULOS RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

CONCEPTO

En geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son losvértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denominatriángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Por la longitud de sus lados

Por la longitud de sus lados, todo triángulo se clasifica:

como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó $\pi/3\,$ radianes.)
como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas, es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales¹ ), y
como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.


Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}$
	Oblicuángulos

Se llama triángulo oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

CONGRUENCIA DE

TRIÁNGULOS

triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Triángulo	Teoremas de congruencia
	Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencias de triángulos rectángulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro

ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO

Medianas y centro de gravedad

Medianas y centro de gravedad de un triángulo.
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.
Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, $G$ en la figura, llamado centroide o baricentrodel triángulo. Si éste es de densidad homogénea, entonces el centroide $G$ es el centro de masas del triángulo.
Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud de la mediana.
Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales. Demostración: es obvio, por simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo cualquiera con sus tres medianas puede transformarse en un triángulo equilátero con su tres medianas mediante una transformación afín o una transformación lineal. El jacobiano (el factor por el que aumentan o disminuyen las áreas) de una transformación afín es el mismo en cualquier punto, de lo que se deduce la proposición que encabeza este párrafo.

Mediatrices y circunferencia circunscrita

Mediatrices ycircunferencia circunscrita de un triángulo.
Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de las mediatrices de sus lados $[A B]$ , $[A C]$ y $[B C]$ .
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto $Ω$ equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro $Ω$ y radio $Ω A$ que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es lacircunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.
- En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
- En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
- En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.
Propiedad

Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el centro de su lado mayor.

Bisectriz y circunferencia inscrita

Bisectrices ycircunferencia inscrita de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos.
Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro

Alturas y ortocentro de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres líneas que pasan por un vértice del triángulo y son perpendiculares a la cara opuesta al vértice. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.
Estas 3 alturas se cortan en un punto único $H$ llamado ortocentro del triángulo.
Notas:
- Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es uno de los vértices del triángulo
- Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo
- Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo
Recta de Euler

Recta de Euler de un triángulo.

Los tres puntos $H$ , $G$ y $Ω$ están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:
$\Omega H = 3 \Omega G \,$
Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos $[A H]$ , $[B H]$ y $[C H]$ están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

Superficie de un triángulo
La superficie de un triángulo suele expresarse por una fórmula de lo más sencilla: es igual al semiproducto de la base por la altura:

$S = \frac{ah}{2}$

Esto vale para cualquier triángulo plano.
Cuando consideramos la obtención de triángulos rectángulos con lados enteros se encuentra la solución general de la ecuación x² + y² = z²:
x = m 2 u.v ; y = m (u² - v²) ; z = m (u² + v²)
En estas fórmulas, u y v son dos enteros positivos arbitrarios de distinta paridad tales que u > v y son primos entre sí. El entero positivo m es uno cualquiera que cubre los casos en los que los elementos de la terna pitagórica tienen un factor común. Cuando m = 1, tenemos las ternas pitagóricas con elementos primos entre sí dos a dos. Como el lector puede apreciar, aunque estas fórmulas fueron diseñadas para obtener ternas con lados enteros, al ser una identidad, también son válidas para lados reales, exceptuando el caso en que ambos catetos son iguales (que la hipotenusa sea diagonal de un cuadrado).
Si realizamos el cálculo de la superficie en base a las expresiones encontradas para los catetos, nos queda una forma cúbica:

$\textstyle S = \frac{xy}{2};\; S = m^2\;(u^3v - uv^3) = m^2\; uv\; (u^2 - v^2)$

Los números de la forma $uv\;(u^2-v^2)$ , cuando u y v son u > v y enteros positivos impares y primos entre sí, son números congruentes de Fibonacci, introducidos en su Liber Quadratorum (1225). No hay razón conocida para que u y v no puedan ser de distinta paridad.Fibonacci demostró que el producto de un congruente por un cuadrado también es congruente.
Como la superficie de cualquier triángulo puede ser descompuesto en la suma o resta de las superficies de dos triángulos rectángulos, tenemos dos expresiones para las superficies de triángulos no rectángulos:

Acutángulo: $m^2\;uv\;(u^2-v^2)+n^2\; st\;(s^2-t^2)$

.

Obtusángulo: $m^2\;uv\;(u^2-v^2)-n^2\;st\;(s^2-t^2)$

.
Sin olvidar que esto solamente es válido para pares de triángulos rectángulos que no tengan catetos iguales. Es una forma más complicada de escribir la superficie de un triángulo y, también, es poco conocida. Pero en algunos casos, su escritura puede echar luz sobre cuestiones que de otra forma pasan inadvertidas.

En el espacio

Octaedro; poliedrode ocho caras triángulares.

Icosaedro; poliedro de veinte caras triangulares.
El triángulo es la forma de las caras de muchos poliedros regulares:tetraedro (cuatro caras que son triángulos equiláteros, es la pirámide de base triangular), octaedro (ocho caras, las pirámides de Egipto son medio-octaedros), icosaedro (veinte caras) ...